如何把圆等面积地变成正方形?这个问题困扰了数学家数千年

环球科学 2022/11/20 18:46:09 责编:远生

图片来源:Pixabay

直觉告诉我们,给定一个圆,一定存在一个面积与之相等的正方形。可是这个正方形要怎样画出来呢?这个“化圆为方”的问题困扰了数学家几千年,他们先是证明了,仅靠尺规作图无法实现化圆为方,后来又思考:能否将圆分割成有限数量的碎块,再把这些碎块拼接成正方形呢?现在真的有数学家实现了这一点。

尺规作图难题

大约在公元前 450 年,古希腊数学家阿那克萨哥拉(Anaxagoras)提出了一个有趣的几何问题:只用直尺和圆规,能否作出一个与给定圆面积相等的正方形?这个看似简单的“化圆为方”问题成为了尺规作图领域的一道经典题目,在此后的 2000 多年里,许多数学家都尝试解答,但都没能成功。

这个问题之所以难以解答,在于它不仅是一个几何学问题,还是一个代数学问题。在尺规作图问题中,给定若干角度或线段长度,其实质是给出了若干实数;而只用无刻度的直尺和圆规作图这条规则,保证了作出的角度或线段的长度,是给定实数的和、差、积、商、平方根的组合。由此,每个尺规作图问题其实都对应着一个代数问题。

回到化圆为方问题。假设给定的圆的半径为单位长度 1,易知圆的面积为 π,而面积与之相等的正方形,边长应为√π。问能否用尺规做出这个边长的正方形,其对应的代数学问题是:已知 1,能否通过有限次加减乘除和开方运算,得到√π?

这个问题直到 1882 年才得到了最终的答案。德国数学家费迪南德・冯・林德曼(Ferdinand von Lindemann)证明了,π(及其平方根)是超越数,即它不是任何有理系数多项式方程的根,也就无法通过有限次的代数运算得到。所以那个等价的代数学问题无解,于是,尺规作图下的化圆为方问题也就无解了。

16 和 17 世纪的数学家解决尺规作图化圆为方的尝试。(图片来源:Middle Temple Library / Science Source)

把圆重组成正方形

尺规作图无法化圆为方,可要是抛开尺规作图的限制呢?1925 年,波兰裔美籍数学家阿尔弗雷德・塔尔斯基(Alfred Tarski)提出了另一个版本的化圆为方问题:能否将给定圆分割成有限数量的碎块,再将这些碎块重新拼接成一个正方形?碎块不能有剩余,拼接成的正方形也不能有缺口,圆和正方形的面积要相等。

这个版本的问题少了尺规作图的限制,但是要求不仅正方形的面积要和给定圆相等,构成它的每个部分也要来自给定圆 —— 这更接近“化圆为方”的字面意义。而且在两个版本的问题中,允许的操作次数都是有限的,因此新的化圆为方问题依然是一个难题。

塔尔斯基提出的问题在 1990 年有了答案。匈牙利数学家米克洛什・拉茨科维奇(Miklós Laczkovich)给出了证明:圆可以被分割重组成正方形。但是这种分割方式不是通常的剪刀能剪出来的,分割出来的碎块都拥有极其复杂的不规则形状。拉茨科维奇把这个几何问题转换成了一个图论问题,他用两种不同的顶点(vertices)集合画了一个图(graph)—— 一个顶点集合对应于圆,另一个对应于正方形 —— 然后在两个顶点集合之间建立了一一对应关系。最终他证明了,把一个圆分割成最多 1050 块,就可以将它们拼接成正方形,甚至不需要旋转这些碎块。

然而拉茨科维奇的证明并没有终结新的化圆为方问题。实际上,他只是做了存在性证明,也就是证明了化圆为方是可行的,但是没能给出具体的操作方式,也没能给出每个碎块的形状。通过他的证明,我们并不能知道这个圆到底是被怎样分割的。为了直观地理解化圆为方的过程,数学家仍然需要回到几何学,给出每个碎块形状的明确描述。

可视化尝试

时间来到 2016 年,英国兰开斯特大学的卢卡什・格拉博夫斯基(Łukasz Grabowski)以及华威大学的安德拉斯・马泰(András Máthé)、奥列格・皮库尔科(Oleg Pikhurko)发表了一篇论文,给出了分割圆的具体方法。在他们的证明中,分割圆得到的碎块,大多数都有明确的形状。他们还发现,这些碎块拼接在一起其实不能构成一个完整的正方形,仍然有一些小的“缝隙”需要额外的碎块来填充。但是这些碎块是如此之小,以至于它们并没有面积,数学家称之为“零测度的集合”。

“正方形的几乎所有部分都被拼接出来了,你甚至画不出缺失的部分,因为这一部分看起来是没有形状的。”加利福尼亚大学洛杉矶分校的数学家安德鲁・马克斯(Andrew Marks)评价说,尽管这种化圆为方方法仍需要额外的碎块,但依然是一个戏剧性的进步。

一年后,马克斯和现在在加拿大多伦多大学的斯潘塞・昂格尔(Spencer Unger)做出了改进,给出了第一个真正有效的化圆为方的方法。他们把圆分割成多达 10200 块,重新拼接成了正方形,而且不会留下零测度的缺口。这些碎块的形状仍然非常复杂,尽管它们在数学上有明确的描述,但是很难可视化。

把等面积的圆和正方形分割成一堆相同的碎块,这样二者就可以相互转化了。

这给了数学家继续改进化圆为方方法的空间。马泰、皮库尔科和加拿大维多利亚大学的乔纳森・诺埃尔(Jonathan Noel)在此前发布的一篇预印本论文中,将圆分割成了同样约 10200 块,但形状更为简单、更易可视化的碎块,并重组成了正方形。数学家仍然想进一步简化这些碎块,尤其是减少碎块的数量。马克斯做了一些计算机实验,表明可以只用 22 个碎块就能完成化圆为方的过程,他甚至认为这个数字还能减小,尽管没有给出证明。

“我敢打赌,在 20 块碎片以内就能把圆重新拼接成正方形,”马克斯说,“不过我不会下太大赌注。”

参考链接:

  • https://www.quantamagazine.org/an-ancient-geometry-problem-falls-to-new-mathematical-techniques-20220208/

本文来自微信公众号:环球科学 (ID:huanqiukexue),撰文:白德凡,审校:二七

相关文章

关键词:数学科普常识

软媒旗下网站: IT之家 辣品 - 超值导购,优惠券 最会买 - 返利返现优惠券 iPhone之家 Win7之家 Win10之家 Win11之家

软媒旗下软件: 魔方 云日历 酷点桌面 Win7优化大师 Win10优化大师 软媒手机APP应用