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台风中心没有风,引出一个数学问题......

原点阅读 2022/12/6 21:52:02 责编:远生

如果有人告诉你,在任何时刻地球上总可以找到一个点,此时此刻在这一点上没有风!对此你可能会感到十分惊讶,然而这却是事实。缩到小范围可能会更加使你相信这一点。

大家知道,台风是热带海洋上的大风暴,它实际上是一团范围很大的旋转空气。

我们常听到新闻中台风的消息,说是台风中心附近的风力达到 12 级。这是指台风中心附近的风速达 33 米 / 秒,它相当于一列高速奔驰的火车的速度。

图源:pexels

更有甚者,如 2019 年第 9 号台风“利奇马”(超强台风),其中心附近的最大风速竟达 52 米 / 秒。

可是,在如此猛烈的台风的中心,在大约 10 千米直径的范围内,由于外围的空气旋转得太厉害,不易进到里面去,所以那儿的空气几乎是不旋转的,因而也就没有风。

下面是一则真实的报道,这是一位美国的气象学家乘坐台风侦察机,穿入太平洋上的一个台风眼时,对目睹的情况所做的生动描述。它无疑能够加深你对“台风眼”这一奇异景观的了解。

“…… 不久,在飞机的雷达荧光屏上开始看到无雨的台风眼边缘。飞机从倾盆大雨颠簸而过以后,突然我们来到耀眼的阳光和晴朗的蓝天下。在我们的周围展现出一幅壮丽的图画: 在台风眼内是一片晴空,直径 60 千米,其周围被一圈云墙环抱。有些地方高大的云墙笔直地向上耸立着,而在另一些地方云墙像大体育场的看台倾斜而上,台风眼上边圆圈有 10~12 千米,似乎缀在蓝天背景上……”

看!在那宛如万马奔腾的怒吼的狂风中,果然存在着一个风的不动点。

不动点的现象在自然界、生活中随处可见。

日本东京工大田中富教授在《科学之谜》一书中,提到一件有趣的事:老师带着一批学生到一座寺庙去参观,这位老师把头伸到大吊钟里去观察钟的结构,有个学生很淘气,想吓唬这位老师,就使劲用撞钟木去敲击大钟,结果不但没有吓着老师和旁边的女同学,自己反而被震耳的钟声吓了一大跳。

为什么会出现这种现象呢?

田中富教授画了一张图并解释说,这与在一个碗里倒满水,然后用筷子敲碗边,我们可以看到波纹从碗周围向碗中心移动的现象是一个道理。此时中心部分波纹因互相抵消而消失。

图中的 A、B、C、D、E 实际上是声波的不动点。相反,敲钟学生站的地方 F,恰是钟振动最大的地方,所以声音自然特别震耳。

下面你可以做一个有趣的游戏。

拿来同一个人的大小两张照片,把小照片随手叠放在大照片之上,然后你向观众宣布:小张照片上一定有一点 O,它和下面大张照片与之正对着的点 O′,实际上代表着同一个点。

对此,你的观众一定会半信半疑。不过,当你告诉他如何找到这个不动点时,他们的一切疑虑都会烟消云散。

设大照片为 A′B′C′D′,小照片相应为 ABCD,延长 AB 交 A′B′于 P 点,过 A、P、A′,及 B、P、B′分别作圆。则两圆交点 O 即为所求的不动点。

事实上由上图知: 

这就说明了 O 点在大小照片中,所处的位置没有变动,即 O 为照片位置变换的不动点。

瞧!不动点现象是多么神奇,多么耐人寻味!

另一个例子是大商场等地方可以看到的平面地图,上面标有“您在此处”的红点。如果标注足够精确,那么这个点就是把实际地形射到地图的连续函数的不动点。

地球绕着它的自转轴自转。自转轴在自转过程中是不变的,也就是自转运动的不动点。

关于不动点系统的研究,始于 20 世纪初,1912 年,荷兰数学家 L.E.J.布劳威尔(L.E.J.Brouwer,1881—1966)证明:任意一个把 n 维球体变为自身的连续变换,至少有一个不动点。

这就是著名的不动点定理。

对于大多数的读者,布劳威尔定理中的一些数学术语,无疑需要加以解释。

例如,粗浅地说,就是“连续变换”原先距离很小的两点,变换后的距离依然很小。至于“n 维空间”,这是一个抽象的概念。

具体地说,直线是一维空间,平面是二维空间,普通空间是三维空间,等等。因而线段是一维球体,平面圆域是二维球体,普通的球是三维球体,等等。

布劳威尔定理的严格证明虽说很深奥,但有关布劳威尔定理的一些实例却是很有趣的。

拿一个平底盘和一张恰好盖住盘底面的纸,纸上的每一个点正好对应着它正下方盘面上的一个点。现在把纸拿起来随便揉成一个小纸团,再把小纸团扔进盘里。

那么,根据布劳威尔不动点定理,不管小纸团怎样揉,也不管它落在盘底的什么地方,我们可以肯定,在小纸团上至少有一个点,它恰好位于盘子原先与这一点对应的点的正上方。尽管我们说不准这样的点在哪儿。

以上事实我们可以给予如下说明: 假设小纸团在盘面上的正投影为区域 Ω1。显然,原纸片上与 Ω1 相对应的点一定位于 Ω1 的正上方,假设纸团里的这部分在盘底的正投影为区域 Ω2,显然 Ω2<Ω1。

同样,原纸片上与 Ω2 相对应的点一定位于 Ω2 的正上方,而纸团里的这部分在盘底的正投影为区域 Ω3,又有 Ω3<Ω2,如此等等,可以反复做下去,得到一连串一个比一个小的区域 Ω1,Ω2,Ω3,…,这些区域一个含于另一个之内,形成一层小似一层的包围圈。因此最后必然缩到“一个点”(或“一个小区域”),那么这个点(或小区域上的点)在纸团上的位置,一定恰好在该点的上方。

布劳威尔不动点定理问世后,引起了各国科学家的极大兴趣,他们对此做了大量的工作,取得了许多奇妙的应用。

举一个颇有影响的例子。

1799 年,德国数学大师高斯证明了 n 次代数方程

至少有一个根。这就是著名的代数学基本定理。

尽管这个定理的名称,对于 200 多年后的今天似乎不确切,但对于 200 多年前以方程理论为主体的代数学,却没有言过其实。

今天,当我们研究了不动点理论之后,可以把方程 f(x)=0 的求根问题,转化为求函数 φ(x)=f(x)+x 的不动点。

由于方程 f(x)=0 的根不可能超越复数平面的某个半径很大的圆域,又函数 φ(x)显然是连续的,因此在这个大圆域运用布劳威尔不动点定理,知道至少存在一个点 x,使得

φ(x)=x

即 f(x)+x=x

也就是说,方程 f(x)=0 至少有一个根。看!一个在代数学上起着巨大作用的定理,竟如此轻松地证明了。

不过,对于不动点理论,科学家们似乎感到不尽如人意,因为这个理论只告知不动点的存在,却没说不动点在哪里。这个问题困扰了他们达 50 年之久,直至 20 世纪 60 年代后期,情况才有了转机。

1967 年,美国耶鲁大学的斯卡弗教授,在不动点由未知转向已知方面,取得了重大突破。他提出了一种用有限点列逼近不动点的算法,使不动点的应用,取得了一系列卓越的成果。

有趣的是,对不动点理论做出如此巨大贡献的斯卡弗本人,却是一名专攻经济学的学者。数学上的理论,使斯卡弗和他的同行们在经济学领域犹如猛虎添翼,取得了累累硕果。

作者:张远南 张昶
部分图源于网络版权归原作者所有
编辑:张润昕

本文来自微信公众号:原点阅读 (ID:tupydread),作者:张远南、张昶,编辑:张润昕

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关键词:台风数学

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