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罗巴切夫斯基几何 —— 数学史上最伟大的杰作(之一),人类思想的里程碑

老胡说科学 2023/2/5 15:23:01 责编:梦泽

尼古拉斯・伊万诺维奇・罗巴切夫斯基是一个小官吏的第二个儿子,1793 年 11 月 2 日出生在俄国的诺夫哥罗德辖区的马卡里耶夫地区。1807 年他进了喀山大学。此后,他作为学生、副教授、教授,最后作为校长,在该校度过了他一生中的 40 年时间。

喀山大学领导希望能够与欧洲大学相匹敌。他们从德国请来了几位杰出的教授,其中有天文学家利特罗,他后来成为维也纳天文台的台长。德国教授们很快看出了罗巴切夫斯基的天赋,并且给了他充分的鼓励。1811 年,罗巴切夫斯基 18 岁时,获得了硕士学位。两年后,罗巴切夫斯基 21 岁时担任了见习 "编外教授",就是助理教授。

1816 年,23 岁的罗巴切夫斯基晋升为普通教授。他除了数学工作以外,他还要教授天文学和物理课程。不久,罗巴切夫斯基已成为大学图书馆的馆长和大学博物馆的馆长。罗巴切夫斯基在 1827 年被任命为校长。

喀山大学

当政府决定使学校的建筑现代化并增加新的建筑时,罗巴切夫斯基把这件事当做他自己的事情,要做到既把工作做好,又不浪费一分钱。为了使自己能胜任这个任务,他学习了建筑学。他精通了这门学科,而且非常注重实际,因而这些建筑物不仅美观、实用,而且造价低于所拨给的经费,这在官方建筑史上可算是独一无二的。若干年后(1842 年),一场灾难性的大火毁了半个喀山,也毁了罗巴切夫斯基那些最优美的建筑,包括刚刚建成的天文台 —— 他引以自豪的得意之作。不过由于他头脑冷静,仪器和图书馆得以保存下来。火灾之后,他立即着手重建。两年后,这场灾难已不留丝毫痕迹。

1842 年,即发生火灾的这一年,也是在高斯的斡旋下,罗巴切夫斯基以他对非欧几何的创造,被选为哥廷根皇家学会外国通信院士。令人难以置信的是,像罗巴切夫斯基这样担负着过分繁重的教学和行政工作的人竟然还能找出时间,创造了全部数学中最伟大的杰作之一,与人类思想的一个里程碑。这项工作他断断续续地干了 20 年。他在非欧几何上的第一次公开通信是在 1826 年。高斯直到 1840 年左右才听到这项成就。

罗巴切夫斯基的非欧几何

要了解罗巴切夫斯基所做的工作,我们必须首先看看欧几里得的突出成就。他的《几何原本》除了系统记述了初等几何以外,还包含所有他那个时代已知的数论知识。几何教育受欧几里得控制超过了 2200 年。

欧几里得承认,他的第五公设(平行公设)是一个纯粹的假设。第五公设可以用许多等价的形式来陈述,每一种形式都能利用欧几里得几何的其余公设,由其他形式推断出来。也许这些等价的陈述中最简单的一个是这样的:

已知任意直线 I 和不在 I 上的一个点 P,那么在由 l 和 P 决定的平面上,可以画出恰好一条经过 P 点的直线 I',使得不管 I' 和 l(朝任何一个方向)延长到多远,它们都不会相交。

我们说在一个平面上的两条永不相交的直线是平行的。这样,欧几里得的第五公设断言,过 P 点恰好有一条直线平行于 l。欧几里得对几何性质透彻的洞察力使他相信,在他那个时代,这个公设没有从其他公设中推断出来,尽管有过很多证明这个公设的尝试。由于欧几里得本人无法从他的其他公设中推出这个公设,又希望在他的许多定理的证明中用它,于是他就老老实实地把它和他的其他公设放在一起了。

我们已经提到平行公设的那些“等价”的说法。其中的一个,称为 " 直角假设 ",暗示着两种可能性,而这两种可能性都不能与欧几里得的假设等同,一种是引进罗巴切夫斯基几何,另一种是引进黎曼几何。

考虑一个 "看上去像" 矩形的图形 AXYB,它包含 4 条直线 AX,XY,YB,BA,其中 BA 是底,AX 和 YB 画成等长且垂直于 AB,并在 AB 的同一边处。关于这个图形,应记住的要点是,角 XAB、角 YBA 都是直角,边 AX、BY 的长度相等。不用平行公设,能够证明角 AXY、角 BYX 相等,但是,不用这个公设,不可能证明角 AXY 和角 BYX 是直角,虽然它们看上去像直角。如果我们假定平行公设,我们就能证明角 AXY 和角 BYX 是直角,反过来,如果我们假定角 AXY 和 BYX 是直角,我们就能证明平行公设。因此,角 AXY 和 BYX 是直角这个假定等价于平行公设。这个假定今天称为 "直角假设"

我们知道,直角假设导致无矛盾的、实用的几何,事实上应该说,导致了经过革新以满足逻辑严格性的现代标准的欧几里得几何。但是这个图形提供了另外两种可能性:相等的角 AXY、BYX 都小于直角 ———— 锐角假设;相等的角 AXY、BYX 都大于直角 ——— 钝角假设。由于任何一个角都满足等于、小于或大于直角的三种要求之一,而且只满足其中之一,所以这三个假设 —— 分别为直角假设、锐角假设、钝角假设。

共同的经验使我们首先倾向于第一个假设。为了看出其他的假设可能并不像初看上去那样不合理,我们要考虑一些与欧几里得想象中的,把图形画成高度理想化的“平面”相比,更接近于人类实际经验的东西。但是我们首先注意到,锐角假设和钝角假设都不能使我们证明欧几里得的平行公设,因为正如上面说过的,欧几里得的公设与直角假设是等价的(在相互推断的意义上,直角假设对于平行公设的推断既是必要的又是充分的)。因此,即使我们成功地在两个新假设之一上构造出了几何,我们也不会在这些几何中发现欧几里得意义上的平行。

为了使其他的假设不像它们初看上去那样不合理,假定地球是一个完美的球体。画一个平面穿过这个理想地球的中心,它与地球表面交出一个大圆。假定我们希望在地球表面上从一个点 A 到达另一个点 B 的过程中总是在球面上,并进一步假定我们希望走可能的最短路径。

上述例子引进了一个重要的定义,即曲面上的测地线的定义。我们刚刚看到,连结地球上两点的最短距离,它本身是在球面上度量的距离,是连结它们的大圆的一段弧。我们也看到,连结两个点的最长距离是同一个大圆上的另一段弧,除非这两点是直径的两端,那时最短距离与最长距离相等。我们现在回想在平面上连结两点的直线段的定义 ——“两点之间的最短距离”,把这个定义应用到球面上,我们说球面上的大圆相当于平面上的直线。由于希腊文的地球是测地线(geodesic)的第一个音节 ge,我们称在任意曲面上连结任意两点的一切极限为曲面的测地线。这样,在平面上,测地线是欧几里得的直线;在球面上,测地线是大圆。一条测地线可以看成是一根线在曲面上的两点之间尽可能绷紧时的位置。

现在,至少在航海中,甚至在考虑中等距离时,就不能把海洋看成是一个平面;而要把它看作是与之非常近似的东西,即一个球面的一部分,大圆航海法的几何不是欧几里得几何,因此欧几里得几何不是人类实用的唯一的几何。在平面上,两条测地线恰好相交于一个点,除非它们是平行的;但是在球面上,任意两条测地线总是恰好相交于两个点。再有,在平面上,任何两条测地线都不能围出一个空间;在球面上,任意两条测地线总是围成一个空间。

现在想象球面上的赤道和两条经过北极垂直于赤道的测地线。在北半球、这产生了一个曲边三角形 WNE,有两条边是相等的。这个三角形的每一边是一段测地线的弧。任意作与两条等长的边相交的另一条测地线,使得赤道和这条交线之间截下的两个部分相等。现在我们在球面上有了相应于我们刚才在平面上有的四边形 AXYB。这个图形的底边的两个角是直角,并且对应的两边相等。但是在 X、Y 处的两个相等的角现在都大于直角。所以,在大圆航海法的几何中(它比初等几何所得到的理想化的图形更接近于真实的人类经验),真实的不是欧几里得的公设,而是由钝角假设得到的几何。

以同样的方式,观察一个较不熟悉的曲面,我们能使锐角假设成为合理的。这个曲面看上去像大的一端焊在一起的两个无限长的喇叭。

为了更精确地描述它,我们必须介绍称为曳物线的平面曲线,它是这样生成的:在一个平面上画两条直线 XOX',YOY',在 0 点处相交成直角。想象沿着 YOY 有一根不可拉长的纤维,在它的一端绑着一个很重的小球;纤维的另一端在 0 点。沿着直线 OX 将这一端往外拉。由于小球跟着运动,它就画出了曳物线的一半;另一半由沿着 OX' 拉动纤维的这一端画出来,当然它只是前一半在 OY 上的反射或镜像。假定在每一种情形拉开的过程都无限地进行下去 ———“直至无穷”。现在想象曳物线绕直线 XOX' 旋转。双喇叭曲面就生成了;它有常数负曲率,被称为伪球面。如果我们在这个曲面上,用测地线画出两条边相等、有两个直角的四边形,我们发现锐角假设是成立的。

这样,直角、钝角和锐角的假设分别对欧几里得平面、球面和伪球面是成立的,而且在所有的情形下“直线”都是测地线或极值。欧几里得几何是球面几何的极端情况,当球的半径为无穷大时,就得到了欧几里得几何。

欧几里得没有构造一个适合地球的几何,他基于地球是扁平的假定。人们用了 2000 多年的时间,直到罗巴切夫斯基出现。

用爱因斯坦的话说,罗巴切夫斯基是在向一个公理挑战。任何人向一个 2000 多年以来为大多数人视为不容否定的真理挑战,如果不是拿他的生命冒险,也是拿他的科学声誉冒险。

爱因斯坦本人向两个事件可以在同一时间发生在不同地点这一公理提出挑战,通过分析这个古老的假定,导致了狭义相对论的发现。

罗巴切夫斯基向之挑战的公理是:对一个相容的几何而言,欧几里得的平行公设,或与之等价的直角假设乃是必要的。他用创造一个建立在锐角假设基础上的几何系统,来支持他的挑战,在这个几何系统中,通过一个定点与给定直线平行的直线不是一条,而是两条。罗巴切夫斯基的两条平行线都不跟它们与之平行的直线相交,通过该定点且落在这两条平行线形成的角度之内的任何直线,也都不与之相交。这个显然很奇怪的情形,是由伪球面上的测地线“实现”的。

对于任何日常的目的(测量距离等)而言,欧几里得几何同罗巴切夫斯基几何之间的差异小得不值一提,但这不是要点之所在:两种几何都是自洽的,都符合人类的经验。罗巴切夫斯基抛弃了欧几里得几何的不容否定的 "真理"。他的几何只是由他的后继者们构造出来的几种几何中的第一个。这些替代欧几里得的几何中,有一些 —— 例如广义相对论的黎曼几何 —— 今天在物理科学的仍然活跃和发展着的部分中,至少像欧几里得几何过去和现在在相对静止的和经典的部分中那样重要。对于一些目的,欧几里得几何是最好的,至少是够用的,而对另外一些目的,它就不适用了,于是就需要非欧几何了。

2200 年以来,人们在某种意义上相信,欧几里得在他的几何体系中发现了人类知觉的一个绝对真理或必然模式。罗巴切夫斯基的创造实际上证明了这种看法的错误。他的大胆挑战,以及挑战的结果,鼓舞着广大数学家和科学家向其他的“公理”发出挑战,例如对因果律挑战。

也许我们还没有体会到罗巴切夫斯基向公理挑战的方法的全部影响。称罗巴切夫斯基为几何学中的哥白尼并不是夸大其词。

本文来自微信公众号:老胡说科学 (ID:LaohuSci),作者:我才是老胡

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