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宇宙真的建立在数学之上吗?

2023/11/12 11:45:01 来源:中科院物理所 作者:Areeba Merriam 责编:梦泽

数学是上帝用来书写宇宙的语言

—— 伽利略・伽利雷

我们不确定谁第一次把数学应用到科学中,但是约 3000 年前的巴比伦人可能是最早的一批人之一。他们用数学来理解日食和月食,而又过了 2500 年,微积分和牛顿物理学的出现才解释了这些现象。


黑洞、希格斯玻色子和引力波都是用数学预言的,这就凸显了宇宙的数学本质。大约 400 年前,伽利略著名的论断 —— 宇宙是一本用数学语言写成的“宏伟之作”—— 就反映了这一观点。这意味着我们的宇宙不仅仅是由数学描述的,更准确地说,它本质上是数学的。我们都是这个基于数学的巨大实体的一部分,而这个实体是一个比人们最近讨论的多宇宙概念更大的多宇宙的一部分。


许多人经常把数学和算术混在一起,但是事实上,数学家探索的是比纯数字更广泛的抽象结构,包括各种几何图形。要在你的周围发现这些图形,就不能仅仅把目光放在人造的这些形状上,例如书本的矩形。

因为大自然本身就充满了各种图案,像斐波那契数列 ——(从第三个数起)后一个数是前两个数之和。从 0,1,开始,最初的几个数排列如下:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144

(在自然界中我们也能看到这一图案)例如,当你观察一朵向日葵时,你会发现它的种子是呈螺旋形分布的,种子的数目就遵循斐波那契数列的规律

你可以通过观察大自然来发现几何图案和形状。例如,当你扔一块石头观察它的轨迹时,你会发现一个漂亮且重复出现的弧形,这就是所谓的倒立抛物线。无论你扔什么东西都是这个轨迹。当我们观察太空中做轨道运动的天体时,我们会发现另一种常见的形状 —— 椭圆。有趣的是,这两种图形 —— 抛物线和椭圆 —— 是相互联系的。一个拉长的椭圆的尖端非常像抛物线(当椭圆的离心率趋于 1 时,椭圆就趋近于抛物线),这表明所有这些轨迹本质上都是椭圆的组成部分

当我们探索周围的世界时,我们会注意到在运动、重力和电流等各领域都存在重复出现的形状和图案,我们把这些规律总结为物理定律。就像用数学去描述椭圆的形状一样,我们用数学来描述这些定律

泰格马克(Tegmark)说,“数学的形状和图案揭示出自然界优雅的简洁和美,这些图案已经能被我们的思维所理解。” 泰格马克对数学有着强烈的热爱,他甚至在卧室里悬挂了很多方程式的图片。

很长时间以来,科学家们都用数学来描述宇宙,但是如果宇宙实际上只是数学呢?这正是马克思・泰格马克思考的问题。

马克思・泰格马克

在 1 月 15 日于贝伯小屋的一次演讲中,泰格马克讨论了一个观点:如果你接受了空间本身以及空间的物质除了数学属性之外没有任何属性,那么万物皆数学“听起来就不显得那么荒谬了”。他以他的书《我们的数学宇宙:我对实在终极本质的追求》(Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality)为基础展开这次演讲。

在物理学和宇宙学领域,存在着一个猜测的“万物理论(theory of everything,TOE)”被称为数学宇宙假设(MUH)或者是终极统一理论,它就是由宇宙学家马克思・泰格马克提出的。

“没有数学你什么都做不成。你周围的所有东西都是数学,都是数字。”

—— 夏琨塔拉・戴维

泰格马克的数学宇宙假设(MUH)理论表明我们的物理世界是建立在数学结构的基础上的。这意味着我们的宇宙不仅仅是由数学解释的,而且它本质上就是数学 —— 一种特殊的数学结构。也就是说如果某个事物在数学上存在,那么它在物理上也就存在。像人类这样的观察者,被认为是这种数学结构中的自我意识部分,在任何存在这样的观察者的数学装置中,他们都觉得自己存在于真实的物理世界中。

数学宇宙

有人说人类的大脑是宇宙中最复杂的东西,正是我们人类的思维引领了理解世界的巨大飞跃。泰格马克说,有一天,科学家们甚至能够用数学来描述意识。

“大脑以有限的空间蕴含无限”

—— 卡尔・萨根

泰格马克强调将看似独立的事物融合在一起常常会带来物理学上的重大突破,例如能量和物质、空间和时间、电和磁。同样地,他认为意识(自我感知的感觉)终将会和肉体(运动粒子的集群)统一起来。

泰格马克说他的假设不需要额外的细节,这一假设也没有被观察者证伪。因此他认为,按照奥卡姆剃刀原理,他的理论好过其他的万物理论。他还提到另外一个观点 —— 计算宇宙假设(Computable Universe Hypothesis,CUH),这个假设是说物理现实是由计算函数定义的数学结构

马克思・泰格马克的多宇宙的四个层次

泰格马克的计算宇宙假设(MUH)和他的“多宇宙包含四个层次”的观点相联系。这四个层次按复杂度由低到高排序,分别是:(层次 1)不同起点的世界,(层次 2)不同物理常数的世界,(层次 3)不同量子结果的世界,(层次 4)不同方程或者不同数学结构的世界

于尔根・施密德胡伯是德国的一位计算科学家,以他在人工智能领域的工作出名

于尔根・施密德胡伯(Jürgen Schmidhuber)不同意泰格马克的观点,他认为泰格马克“所有的数学结构都是等同的”这一观点没有实际意义。他提出了一个有更多限定的方法。他聚焦在能用构造性的数学描述的宇宙表示上,例如计算程序这些计算程序就像数学函数的数字图书馆,给更多的数学发现提供基础。

泰格马克回应说,即使在弦论里,也没有发展出一套对所有宇宙中物理变量进行测量的正规方法,因此这一局限不应当被看做大的障碍。

库尔特・哥德尔

60 多年前,奥地利的数学家库尔特・哥德尔(Kurt Gödel)提出了一个与泰格马克的观点相悖的理论。他的第一个不完备性定理是处理数学公理问题的,这个定理是说在数学上我们接受为真的东西不能被数学本身证明

例如,考虑恒等公理(X=X)。我们相信它是正确的,但是我们不能用数学来证明。哥德尔的定理是说所有基于公理的理论要么是不完备的,要么是自相矛盾的

弗里曼・戴森

理论物理学家、数学家弗里曼・戴森(Freeman Dyson)认为数学是无止境的。即使我们已经解决了很多问题,我们仍将会在现有的规则内发现更多未解决的问题。尽管这可能跟“万物理论”的观点相悖,但是这不意味着数字纯粹是人类发明的产物,或者仅仅是等着人类去发现的东西。

有人认为数学宇宙假设(MUH)跟哥德尔的不完备性定理不符。在一次泰格马克、皮特・胡特(Piet Hut)和马克・奥尔福德(Mark Alford)共同出席的讨论中,奥尔福德认为形式主义者使用的方法不能证明一个非常强大的系统中所有的定理。他认为数学“在那”的观点和它基于形式系统的观点不是一回事。

泰格马克提出了一个新的观点作为回应:只有那些能被完全解决的数学结构才会存在于物理世界中。这个观点缩小了多宇宙的范围,有可能解释我们的宇宙为什么看起来如此简单。他还表明即使标准的物理理论不是完全可解的,那些描述我们世界的数学仍然是完全可解的。

在另一个回应中,泰格马克提出了一个数学宇宙假设(MUH)的替代假设 —— 计算宇宙假设(CUH)。这个观点仅包含那些足够简单的数学结构,不涉及哥德尔定理中那些未解决的或者不可计算的定理。但是,泰格马克也承认这个方法面临着很大的挑战,例如,这个假设排除了很多数学情形、潜在的不可计算的问题,而且历史上最成功的物理理论也跟 CUH 不符。

施特格尔(Stoeger), 埃利斯(Ellis)和基歇尔(Kircher)认为在真正的多宇宙中,不同宇宙之间是完全分离的,一个宇宙完全不会影响另一个宇宙。他们认为这种联系的缺失使多宇宙理论得不到科学上的支撑。埃利斯特别批评了数学宇宙假设(MUH),他认为除了一些乐观的看法以外,这个假设几乎不可能被证明。

然而,泰格马克相信 MUH 可以被证实。他认为该假设预言了在自然界中,物理会揭示数学图案,并且通过假设我们处在多宇宙中一个特定的宇宙里,我们能够测试在这个有着数学结构的多宇宙中我们的宇宙有多么独特。

数学宇宙假设(MUH)是基于数学是一种客观存在这样一个观点,但是一些人,例如詹姆斯(Jannes),认为数学在某种程度上是人类发明的。他提出,如果数学真的是一种客观存在,那么其他智能生物,例如外星人或者智能计算机,也应该能很好地理解数学。布莱恩・格林(Brian Greene)也持有相似的观点,他认为对宇宙的深刻理解不应该依赖人类的概念

然而,各种各样人类之外的实体,包括智能生命,都能理解和运用基础的数学概念。同时,在动物中也存在着一些与数学概念相关的有趣例子。例如经过训练的大猩猩可以做一些仅限于基本算数的符号加法。这就引发了一个问题:人类之外的智能是否存在?是否能够理解先进的数学?到目前为止,我们还没有证实。实证主义者认为数学是发展的,不存在固定的结构。

各种实体都能理解基本数学概念

泰格马克回应说,数学结构是严格定义的,人类之外的数学只是看起来不同而已,因为我们正在逐步揭示一个一致而又统一的数学绘景。他在 2014 年出版的关于 MUH 的书中提到,我们并没有发明数学的语言,我们只是发现了它的结构。

唐・纳尔逊・佩奇,加拿大理论物理学家

唐・佩奇(Don Page)认为只能存在一个基本的世界,如果数学能描述所有可能的世界,那么必须存在一个唯一的数学结构定义“实在(Reality)”。他认为前面提到的所有数学结构共存的层次 4 是不合逻辑的。

泰格马克回应说,佩奇的观点并不是完全与层次 4 相悖的。他解释说许多数学结构都可以被分解为独立的部分,但是这些部分又可以统一起来。更简单的情况,即使是在一个数学结构里,也存在着看似可分但实际互相关联的元素

“数学是宇宙的语言。因此你知道的公式越多,你能和宇宙的交流就越多。”

—— 奈尔・德葛拉司・泰森

作者:Areeba Merriam

翻译:小聪

审校:悦悦

原文链接:Is the Universe Really Built on Mathematics?

本文来自微信公众号:中科院物理所 (ID:cas-iop),作者:Areeba Merriam

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关键词:数学宇宙

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