卡尔・弗里德里希・高斯(1777~1855)是一个神童。19 岁差一个月的他作出了一项非凡的发现。2000 多年以来,人们知道如何用直尺和圆规作等边三角形和正五边形(还有其他的正多边形,其边数是 2、3、5 的倍数),但不知道如何作出边数为素数的正多边形。高斯证明,正七边形也能用直尺和圆规作出。
高斯通过写日记来纪念他的发现,在接下来的 18 年里,他在这本日记中记下了他的很多发现。他还是一个学生的时候就获得了很多成功。其中有一些是对欧拉、拉格朗日及其他 18 世纪数学家们已经证明的定理的重新发现;有很多是新发现。在他学生时代的更重要的发现中,我们可以挑出最小平方法、数论中二次互反律的证明,以及他对代数基本定理的研究。他获得了博士学位,学位论文的标题是《关于所有含一个变量的有理代数整函数都能分解为一次或二次实因子的定理的新证明》。这是他一生中所发表的代数基本定理的 4 个证明当中的第一个,在这篇论文中,高斯强调了在证明这个定理的过程中证实至少有一个根的重要性。下面的说明可以显示他的思路。