数学家死磕欧拉方程 10 年,用计算机找到了让它失效的“奇点”

量子位 2022/11/22 19:52:09 责编:远生

原文标题:《华人数学家死磕欧拉方程 10 年,用计算机找到了让它失效的“奇点”》

专研长达 10 年,论文足足 177 页

数学家通过计算机,找到了让著名欧拉方程失效的“奇点”。

图源:Quanta Magazine

欧拉方程,是 250 年前(1755 年)由瑞士数学家欧拉提出,属于无黏性流体动力学中最重要的基本方程。

它可以说是“鼻祖级”的方程,正如杜克大学数学家 Tarek Elgindi 的评价:

几乎所有的非线性流体方程都是从欧拉方程推导出来的。

即便如此,几百年来仍有许多“未解之谜”让数学家们困惑不已。

例如原则上,如果你已知流体中每个粒子的位置和速度,欧拉方程应该能够预测流体将如何一直演化下去。

但数学家们认为,欧拉方程在某个“奇点”上便会开始输出没有意义的数值,也就是无法再做精准预测。

而一旦达到这个点,人们就认为欧拉方程失效了,更戏剧化的说法,叫做产生了“爆破”(blow up)。

来自加州理工学院数学家 Thomas Hou 等人所做的研究工作,就是通过计算机对此做出了证明。

马里兰大学数学家 Tristan Buckmaster 在看完这项工作后说:

这是一个惊人的结果。

此前从来没有过。

用计算机证明欧拉方程的“爆破”

早在 2013 年的时候,Thomas Hou 和现在就职于香港恒生大学的 Guo Luo 就提出过一个假设:

欧拉方程会导致一个奇点。

为此,他们开发了一种计算机来模拟圆柱体中的流体:

圆柱体内的液体,上半部分是顺时针旋转,而下半部分则是逆时针旋转。

这两股相反方向的水流在运动的过程中,产生了其它复杂的情况 —— 出现上下循环的水流。

而在它们相遇的地方,流体的涡度(描述流体旋转情况的流体力学概念)以极快的速度增长,似乎随时就要“爆破”。

但他们当时的研究只能说对于“奇点存在”是具备启示性,并没有真正意义的证据。

这是因为计算机不可能计算出无穷大的值,它可以算出的是非常接近奇点的近似值,但并非是精准的那种。

事实上,当用更强大的计算方法探测时,明显的奇点却已经消失了。

也正因如此,普林斯顿大学数学家 Charlie Fefferman 评价过去人们对这件事的研究为:

问题非常的微妙,以至于到处都是模拟研究的“残骸”。

但 Thomas Hou 等人却不为所动,坚持“死磕”这一难题。

终于在 9 年后,他和他之前的研究生 Jiajie Chen 成功证明了附近奇点的存在。

他们先是仔细分析了 2013 年的研究,发现那个近似解似乎有一个特殊的结构:

随着时间的推移,这些方程的解会呈现出一种所谓的“自相似模式”(self-similar pattern),它的形状后来看起来很像它的早期形状,只是以一种特定的方式重新缩放。

因此,二人认为不需要去研究奇点的本身,相反,可以关注更早的时间点来间接对它做研究。

具体而言,就是通过正确的速率放大解的这部分(是由解的自相似结构决定的),可以模拟之后会发生什么。

为此,他们花费了好几年的时间才找到了与 2013 年“爆破”情况类似的自我模拟方案。

然后二人需要做的工作,就是证明奇点附近存在一个精确的解。

从数学层面上来说,就是要证明他们找到的那个解是稳定的,即便对它进行扰动,结果也能在近似解周围小邻域的范围内。

但在这个过程中,Thomas Hou 发现,他们不得不再借助计算机的力量,因为有太多的精度要确定,计算量简直大到惊人的程度。

但也正如刚才我们提到的,计算机是无法计算无穷大的值,微小的错误可以说是在所难免,因此他们也要小心地跟踪这些错误,以免影响到其它结果。

最终,在“人机结合”的方式之下,Thomas Hou 和 Jiajie Chen 最终找到了所有项的边界,并完成了证明 ——

欧拉方程确实会产生一个奇点。

而这次的证明过程,让 Thomas Hou 感受颇深:

现在的数学工作不再是靠纸和笔,计算机是一种更强大的武器。

对此,Fefferman 也补充道:

在我看来,如果不大量使用计算机辅助证明,就好像把(数学家)的双手绑在背后一样。

作者介绍

这项研究的作者之一是 Thomas Hou,加州理工学院计算与数学科学教授,专攻数值分析和数学分析相关工作。

他本科就读于华南理工大学,于 1982 年获得学士学位;他的博士生涯是在加州大学洛杉矶分校完成。

1989 年到 1993 年期间,他在纽约大学库朗数学科学研究所任教。

自 1993 年至今,他便一直在加州理工学院任教。

研究的另一位作者是 Jiajie Chen,目前是纽约大学的数学科学家。

他在研究生期间就证明了各种流体方程式可以“爆破”。

论文地址:

https://arxiv.org/abs/2210.07191

参考链接:

  • [1]https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/

  • [2]https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Hou

本文来自微信公众号:量子位 (ID:QbitAI),作者:金磊

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关键词:数学家数学

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