布尔 ——19 世纪最重要的数学家之一,纯数学源于他的《思维规律》

老胡说科学 2022/11/23 18:45:13 责编:远生

英国数学家对数学发展的贡献是在独创性方面。布尔的就是一个典型的例子。布尔的逻辑代数迅速发展成为纯数学的一个主要分支。各国数学家们把它扩展到一切数学领域。伯特兰・罗素说:

纯数学是布尔在 1854 年出版的他的《思维规律》一书中发现的。

这表明了数学逻辑及其分支在今天的重要程度。布尔以前的其他人,特别是莱布尼茨和德・摩根,曾经梦想过要把逻辑本身加进代数的领域。布尔将它变成了现实。

布尔于 1815 年 11 月 2 日出生在英格兰的林肯,是一个小店主的儿子,属于社会底层。当时英国学校里学生的目标是将来担任当时开始流行的工厂和矿山的工头。这些学校不是为布尔这类人设立的。布尔进的“国立学校”,主要目的在于把穷人留在适合他们的卑贱地位上。布尔所处的时代,懂得一点点可怜的拉丁文,或者再稍微懂一点希腊文,是一个上等人的标记。说来奇怪,靠死记硬背记住拉丁文的句法,却被认为是最有用的脑力训练。

布尔也趋之若鹜地作了一个可悲的错误判断,他认定,想要走出困境,必须学习拉丁文和希腊文。事实是,拉丁文和希腊文与他穷困的原因毫无关系。到 12 岁时,布尔已经掌握了足够的拉丁文,能够把一首贺拉斯的诗翻译成英文诗了并在地方报纸上发表了它。这引起了一场文化上的争吵,部分是对布尔的赞扬,部分是对他的羞辱。

14 岁时,布尔翻译了当地出版的希腊诗歌《春之颂》

布尔最早的数学教育来自他的父亲,他父亲通过自学,远远超出了他自己所受的那一点点教育。但是布尔坚持认为古典文学是主宰生活的钥匙。到 16 岁时,他便被迫赡养自己的父母了,找了一份小学老师的工作。

布尔在两所小学教了 4 年书。他在资本方面一无所有,挣得的每一个便士,都是用来赡养他的父母和维持自己清贫生活的最低需要了。进军队,在当时是他无力办到的,因为他买不起委任状。当律师,在财产和教育方面都有明显的要求,而他不可能满足这些要求。还有什么呢?只有教会了,布尔决定当一名教士。但是在贫穷的折磨下,布尔放弃担任教士职位的一切想法。但是他为理想生涯所作的 4 年私下准备,并没有完全白费;他精通了法语、德语、意大利语。

布尔开的一所私人学校

几经周折,布尔在 20 岁时开办了自己的一所私人学校。在给他的学生们教授数学的过程中,布尔对数学产生了兴趣。当时那些平庸的、令人讨厌的教科书,先是使他惊讶,然后是激起他的轻蔑。这些东西算是数学吗?难以置信。同阿贝尔和伽罗瓦一样,布尔直接到原始的数学大陆去寻找真正的数学。他只受过初步的数学训练,但他靠自己的努力,掌握了拉普拉斯的《天体力学》,而这是拉普拉斯最深奥的杰作之一。他还对拉格朗日的非常抽象的《分析力学》,作了彻底的研究。他甚至凭自己的努力,没有任何人指导,作出了他对数学的第一个贡献 —— 写出一篇关于变分法的论文。

1831 年,布尔开始了一项雄心勃勃的数学自学计划。他用法语阅读拉格朗日和拉普拉斯的高等数学著作。他研究并精通艾萨克・牛顿爵士的伟大著作《数学原理》。

布尔从他这段孤独的研究中,取得了另一项成就,他发现了不变量。要是没有不变量的数学理论,相对论就是不可能的。布尔之所以能看出其他人忽略的东西,无疑是由于他对于代数关系的对称和美有很强烈的感觉。

可以指出,代数的现代概念开始于英国。皮科克在 1830 年发表了他的《代数论文》,当时被视为多少有些异端的新奇东西,它在今天已成为任何一本教科书中的常识了。皮科克彻底抛弃了我们在初等代数中看到的在诸如 x+y=y+x,xy=yx,x(y+z)=xy+xz 等关系中 x,y,z,… 必然 "代表数" 这种观念。它们并不必须代表数,这正是关于代数及其应用的一件最重要的事情。x,y,z,… 仅仅是按照一些运算结合在一起的任意符号。

如果不了解代数本身只不过是一个抽象系统,那么代数可能仍然牢固地停留在 18 世纪的算术泥淖中,而不能在哈密顿指引下朝它的极为有用的现代变种前进。代数的这个革新给布尔提供了他的第一次机会。他独创性地指出,把数学运算的符号与它们据以运算的东西分开,并研究这些运算本身。它们是怎样结合的?它们也受某种符号代数的支配吗?他在这方面的研究是极其有意义的,但是他另一项伟大的贡献,即创立一种简单可行的符号体系或者说数理逻辑体系,使这项工作相形见绌。

为了介绍布尔杰出的发现,我们稍稍偏离一下主题。19 世纪有两个知名的哈密顿,一个是爱尔兰数学家威廉・罗恩・哈密顿,另一个是苏格兰哲学家威廉・哈密顿。善于辞令的哲学家哈密顿最后成了爱丁堡大学的逻辑学和形而上学教授。爱尔兰的哈密顿则成为了 19 世纪富于独创性的数学家。

苏格兰的哈密顿太愚钝,在学校时没有学到比初等数学更多的东西,而他的弱点正是自认为无所不知,当他开始讲授和写作关于哲学的东西时,他告诉世界,数学是多么没有价值。

数学使头脑僵死和干涸;过度研究数学使头脑完全丧失哲学和生活所需要的智力;数学根本无助于养成逻辑习惯;在数学上,迟钝于是被提升为才能,而才能降格为无能;数学可以扭曲头脑,但永远不会纠正头脑。

英国数学史上一位重要的人物德・摩根出场了,他是有史以来最老练的辩论家之一,一个精力充沛的数学家,为布尔开路的伟大的逻辑学家。

德・摩陷入与哈密顿关于其 " 谓项的量化 " 的的争论(没有必要解释这个神秘的东西是什么或曾经是什么)。德・摩根对演绎法作出了真正的贡献,但哲学家哈密顿认公开指责德・摩根窃取了自己的成果,于是战斗开始了。在德・摩根方面,辩论是一种愉快的嬉戏。德・摩根从来不发火;哈密顿从未学会不发脾气。

如果这仅仅是关于优先权的争吵中的一次,就不值得一提了。其历史上的重要性在于,布尔那时是德・摩根的坚定的支持者。当时布尔仍然在小学教书,他知道德・摩根是正确的,哈密顿错了。所以,在 1848 年,布尔出版了薄薄的一本《逻辑学的数学分析》。

这本小册子受到德・摩的强烈赞扬。这本小册子只是对在 6 年以后出现的更伟大的东西的预告。与此同时,布尔拒绝了去剑桥接受正统数学训练的建议。他继续在小学教书,因为他的父母完全靠他供养。

1849 年,最后他被任命为新近成立的女王学院的数学教授。他做了各种各样值得注意的数学工作,但他主要努力的是继续使他的杰作(符号逻辑)趋于完善。1854 年,39 岁的布尔发表了这一杰作 ——《对于奠定逻辑和概率的数学理论基础的思维规律的研究》。

下面摘录的几段将使我们对布尔的风格及其工作领域有所了解,

这篇论文的目的,是研究那些据以进行推理的心算的基本规律;用微积分学语言来表达它们,并在这个基础上建立逻辑科学,构造它的方法;使这个方法本身成为应用于概率的数学原理之一般方法的基础;最后,从在这些探索过程中发现的各种真理的成分中,收集一些可能与自然和人类思维的构成有关的提示……

确实存在某些建立在语言本身特点上的一般原则,据以决定作为科学语言要素的符号的用途。在一定程度上,这些要素是任意的。它们的解释纯粹是常规的∶我们可以在我们愿意的任何意义上应用它们。但是这个许可受到两个必不可少的条件的限制 —— 第一,一旦这个意义常规地建立起来了,我们在推理的同一过程中,决不能背离它;第二,指导过程的法则应该完全建立在所用符号的上述固定意义上。与这些原则一致,在逻辑的符号法则和代数的符号法则之间建立起来的任何一致,都只能得出过程一致的结果。解释的这两个领域仍然是分开的和独立的,每一个领域都服从于它自己的法则和条件。

下面几页的实际研究,在它的实用方面,把逻辑展示为借助于有确定解释的符号的帮助而实施的过程体系,并且只服从于建立在该解释基础上的法则。但是同时,它们表现出那些在形式上与代数的一般符号相同,只添加了一点,即逻辑符号还得服从于一项特别的法则,就此而论,量的符号无须遵守这条规律。

布尔把逻辑简化成极为容易的一类代数。在这种代数中,适当的推理,成了对公式的初等运算。于是,逻辑本身就受数学的支配了。

自从布尔的开创性工作以来,他的伟大发现已经在许多方面被改进和推广了。今天,在理解数学的本质中,符号或数学的逻辑都是不可缺少的。如果我们只能利用布尔之前的逻辑方法,那么人类的理智无法对付符号推理所深入到的那些错综复杂的困难。布尔的大胆创见是一个里程碑。

自从 1899 年希尔伯特发表他关于几何基础的杰作以来,人们就已经开始关注几个数学分支的公设的系统阐述。由于希尔伯特的工作,公设法才得到承认。这个抽象的趋势曾风行一时,在这一趋势中,某一特定主题中的运算的符号和规则完全失去了意义,而是从纯形式观点予以讨论,从而忽略了应用,而应用正是人类对于任何科学活动的最终追求。然而,抽象的方法确实提供了无可替代的洞察力,特别是由此非常容易看出布尔的逻辑代数的简便性

因此,我们将叙述布尔代数(逻辑代数)的公设。下面一组公设是从亨丁顿发表在《美国数学学会报》(1933 年)上的一篇文章中摘录的。

这一组公设用 K,+,x 表示,其中 K 是一类不确定的(完全任意的,没有任何预先指定的意义或超出公设所给出的性质)元素 a,b,c,…,而 a+b 和 a×b 是两个不确定的二元运算 +,× 的结果。一共有 10 个公设,

  • Ⅰa:如果 a 和 b 在类 K 中,那么 a+b 在类 K 中。

  • Ⅰb:如果 a 和 b 在类 K 中,那么 ab 在类 K 中。

  • Ⅱa:有一个元素 Z,使得对于每一个元素 a 有 a+Z=a。

  • Ⅱb:有一个元素 U,使得对于每一个元素 a 有 aU=a。

  • Ⅲa:a+b=b+a。

  • Ⅲb:ab=ba。

  • IVa:a+bc=(a+b)(a+c)。

  • Ⅳb:a(b+c)=ab+ac。

  • V:对于每一个元素 a,有一个元素 a',使得 a+a'=U,aa'=Z。

  • Ⅵ:在类 K 中至少有两个不同的元素。

很容易看出,下面的解释满足这些公设∶a,b,c,… 是一些类;a+b 是所有那些至少在类 a,b 之一中的东西构成的类;ab 是那些既在类 a 中又在类 b 中的东西构成的类;Z 是“空类”—— 没有元素的类;U 是“全类”—— 包含所讨论的一切类中的一切东西的类。那么公设 V 说明,对于已知的任何类 a,有一个包含所有那些不在 a 中的东西构成的类 a'。注意 Ⅵ 表示 U,Z 不是同一个类。

从这样一组简单而明显的陈述中,整个古典逻辑都能通过由(公设生成的)代数用符号建立起来。从这些公设中发展出了可以称为“逻辑方程”的理论∶逻辑中的问题被转换成这样的方程,然后这些方程用代数的方法“求解”;然后再按照逻辑数据重新解释这个解,给出原始问题的解答。

关系 a<b [读作 a 包含在 b 中] 是由以下方程中的任意一个定义的∶a+b=b,ab=a,a'+b=U,ab'=Z。

为了说明这些是合理的,考虑第二个方程 ab=a。这个方程说,如果 a 包含在 b 中,那么既在 a 中又在 b 中的一切是 a 的全体。

从所述的公设中,能够证明以下关于包含的定理(如果有必要,可以有几千个更为复杂的定理)。选出来的例子都符合我们对于“包含”的意义的直观概念。

1. a<a。

2. 如果 a<b,b<c,那么 a<c。

3. 如果 a<b,b<a,那么 a=b。

4. Z<a(其中 Z 是 Ⅱa 中的元素 ———— 可以证明是满足 Ⅱa 的唯一元素)。

5. a<U(其中 U 是 Ⅱb 中的元素 —— 同样是唯一的)。

6. a<a+b 并且如果 a<y,b<y,那么 a+b<y。

7. ab<a 并且如果 x<a,x<b,那么 x<ab。

8. 如果 x<a,x<d',那么 x=Z;并且如果 a<y,a'<y,那么 y=U。

9. 如果 a<b' 不成立,那么至少有一个与 Z 不同的元素 x,使得 x<a,x<b。

注意到在算术和分析中“<”是“小于”的符号。这种“符号推理”的重要性,在于它可用于与全部数学的基础有关的微妙问题,要不是这个精确方法一劳永逸地确定了“语词”或其他“符号”的意义,这种问题也许是常人无从着手的。

几乎像所有的新奇事物一样,符号逻辑在发明之后的许多年内没有受到人们的重视。甚至到了 1910 年,著名的数学家们还轻蔑地称它为没有数学意义的、哲学上稀奇古怪的东西。罗素在《数学原理》中的工作,首先使一切专业数学家们相信,符号逻辑可能是值得他们注意的。这里可以提一下符号逻辑的一个坚定反对者 —— 康托尔。理解了“数”,也就理解了数学

布尔于 1864 年 12 月 8 日去世,终年 50 岁。

本文来自微信公众号:老胡说科学 (ID:LaohuSci),作者:我才是老胡

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关键词:数学家布尔

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