爱因斯坦的雪耻之路 — 量子引力,人类历史上最大的科学难题

老胡说科学 2022/11/24 21:21:10 责编:远生

爱因斯坦一生中最大的梦想是建造一个完全由大理石(几何)构造的宇宙,然而,随着量子力学的发展,他的梦想破碎了。但基于量子力学的标准模型理论不仅在数学上是丑陋的,而且也无法把引力囊括其中。因此追求量子理论与引力的统一,被称为是“人类历史上最大的科学难题 ",大众传媒称它为物理学" 圣杯 ",由此产生的理论称为“万物至理”。

所有的物理学巨人都试图攻克这个难题,但他们都失败了。爱因斯坦把他生命中的最后 30 年贡献给了统一场论。甚至连量子理论的奠基者之一海森堡,也把他生命中最后几年光阴花在了统一场理论。1958 年,海森伯甚至在无线电广播中说他和泡利最终成功地找到了统一场理论,只是缺少一些技术细节。

那年的晚些时候,泡利终于作有关海森堡-泡利统一场理论的讲演,物理学家们急于想知道那些缺失的细节。玻尔最后站出来说∶“我们一致同意你的理论是疯了”。

然而,到 80 年代,“木头(物质)的量子理论”开始衰竭了。吸引下一代物理学家的,乃是大理石的世界。

当然,有几个深奥的难题挡住了量子引力理论之路。构造某种引力理论的一个难题是,引力弱得使人不知所措。从经典力学角度,引力与电磁力相比是可忽略的,因此它极难测量。但是如果我们设法建立一种量子引力理论,那么局面就扭转了。由引力引起的量子修正,是普朗克能量的数量级,即约 10^28 电子伏,这个数字远远超过了地球上所能获得的最大能量。

当我们企图建立某种完整的量子引力理论时,这种令人困惑的情况便进一步深化了。回忆一下,当量子物理学家企图将力量子化时,他们把它分解成微小的能量包,这个能量包被称为量子。如果企图将引力理论量子化,那么你会推测它通过交换微小的引力包来作用,这个引力包被称为引力子∶在物质之间快速交换引力于,使得物质被引力吸引。但是,无论什么时候,物理学家们企图完成简单的计算,以推算出对牛顿和爱因斯坦引力定律的量子修正时,他们发现结果总是无穷大。

例如,让我们考察当两个带电的中性粒子彼此碰撞时会发生什么情况。为了计算这个理论的费曼图,我们必须采取近似的方法,因此我们假想时空曲率是微小的,因此黎曼度规张量接近于 1。作为第一步猜测,我们假设时空接近于平坦,不弯曲,因此我们把度规张量的分量分解成

这里 1 代表平坦,h_11 则是引力子场。这样,我们得出一种看起来规范的量子理论。

  • (a)在量子理论中,引力量子称为引力子,用 h 表示。引力通过分解黎曼度规张量而构成。在这种理论中,物质通过交换这种引力包而相互作用。以这种方式,我们完全失去了爱因斯坦美丽的几何绘景。(b)不幸的是,所有圈图都是无穷大,这在过去半个世纪中阻碍了引力与量子理论的统一。

图中,我们看到两个中性粒子交换一个引力量了,它用场 h 来标记。当我们将所有的圈图求和时,问题就出现了。我们发现它们是发散的,就像图中(b)那样。对于杨-米尔斯场,我们能用一些技巧,使这些无穷大量或者渐渐消除,或者被吸收到某个不可测量的量中。然而,可以证明,把它们用于量子引力理论时,我们发现通常的重正化步骤完全失效了。

80 年代初,一种奇妙的现象出现了。物理学家们开始克服对不可见维和超空间的偏见,准备采用某种替代方案,那就是卡鲁查-克莱因理论

虽然卡鲁查-克莱因理论仍然不可重正化,但它提供了用大理石构造某种理论的希望。但是在 20 世纪 30 年代和 40 年代,人们对物质(爱因斯坦称他场方程中的物质为“丑陋的木头”)的本质几乎一无所知。然而,到了 70 年代,标准模型终于解开了木头的奥秘∶物质由遵循 SU(3)×SU(2)xU(1)对称性的杨-米尔斯场结合在一起的夸克和轻子所组成。问题是如何从几何(爱因斯坦称之为美丽的大理石)导出这些粒子和神秘的对称性。

这似乎是不可能的。毕竟,这些对称性是点粒子之间互相交换的结果。如果一个多重态中的 N 个夸克彼此打乱后重组,那么对称性就是 SU(N)。这些对称性似乎是木头独有的对称性,而不是大理石的对称性。SU(N)与儿何学又有什么关系呢?

把木头变成大理石

60 年代出现了第一条小小的线索。物理学家们发现了另一种把对称性引进物理学中的方法。当物理学家们把旧的(五维)卡鲁查-克莱因理论扩展到 N 维时,他们意识到存在着将某种对称性施予超空间的自由。在第五维被卷曲起来时,他们看到麦克斯韦场跳出了黎曼度规。但是当 N 维被卷曲起来时,物理学家们发现著名的杨-米尔斯场(标准模型的关键)从他们的方程中跳了出来。

为了弄明白对称性怎样从空间出现,考虑一个普通的浮水气球。它有一种对称性∶我们能把它绕自己的中心旋转,浮水气球仍保持它原有的形状。浮水气球的对称性,或者球的对称性,称为 O(3)对称性。类似地,在更高的维中,也能让一个超球绕它的中心旋转,且保持其形状不变。这个超球所具有的对称性称为 O(N)。

如果我们以某种确定的方式振动浮水气球,那么我们就能在球面上诱导出规则的振动,这种振动称为共振。这些共振只能以某些确定的频率振动。如果使浮水气球振动得足够快,那么就能产生某个确定频率的声调。这些振动又可由 O(3)对称性来分类。

像浮水气球一样,膜也能诱导共振频率。例如,我们喉部的声带是一些被拉伸的膜,这些膜以确定的频率振动,或者说共振,因此能产生声调。对于超球而言,效果也是这样。它也像膜那样可以以各种频率共振,这些振动又可由它的 O(N)对称性所确定。另一方面,数学家们早已设想用复数来描述高维中的更微妙复杂的表面,相应于复 "超球" 的对称性是 SU(N)。

现在关键在于∶如果一个粒子的波函数沿着这个表面振动,那么它就将继承这种 SU(N)对称性。这样,在亚原子物理学中出现的这种神秘的对称性 SU(N),现在就可以看作超空间振动的副产品。换句话说,物质的对称性的起源有了一种解释∶它们确实是来源于几何的对称性。

现在,我们如果取一种定义在 4+N 维中的卡鲁查-克莱因理论,然后把 N 维卷曲起来,我们就发现方程分成了两块。第一块是通常的爱因斯坦方程,这是我们希望找到的。但第二块却不是麦克斯韦理论。我们发现,余下的正好就是杨-米尔斯场,它是所有亚原子物理学的基础。这是把木头对称性转变成大理石对称性的关键所在。

起初,物质对称性自动从高维中显现出来仿佛很不可思议。物质对称性是通过检验从原子对撞机中产生的废料而被发现的。极难想象,通过将夸克和轻子打乱重组而发现的对称性应该起源于超空间。有一种类比也许有助于我们理解这一点。物质也许可以比作没有形状和凹凸不平的粘土,它缺乏几何图案固有的美丽的对称性。然而,粘土可以被压成模具,模具则可以有对称性。这样,粘土也就继承了模具的对称性。粘土(像是物质)继承了它的对称性,是因为模具(像是时空)具有对称性。

如果这正确的话,那就意味着我们在夸克和轻子之间看到的奇特的对称性现在可以看作超空间中振动的副产品。例如,如果那些看不见的维有 SU(5)对称性,那么我们就能把 SU(5)大统一理论写成某种卡鲁查-克莱因理论。

这也能从黎曼度规张量中看到。我们想起黎曼度规张量除了有更多的分量以外,很类似于法拉第场。把方格棋盘中的第五列和第五行分出,我们就能将麦克斯韦场与爱因斯坦场分开来。现在,在(4+N)维空间中实施与卡鲁查-克莱因理论同样的做法。如果把这 N 行和 N 列与前面四行和四列分离开来,那么将获得既描述爱因斯坦理论也描述杨-米尔斯理论的度规张量。

如图所示,我们已经刻画出一个(4+N)维卡鲁查-克莱因理论的度规张量,图中已把爱因斯坦场与杨-米尔斯场分离开来。

从事量子引力研究的物理学家德威特是最先实施这种做法的物理学家之一。一旦找到了分解度规张量的诀窍,抽出杨-米尔斯场的计算就很简单了。德威特觉得从 N 维引力理论中分离杨-米尔斯场在数学上如此简单,以至于在 1963 年法国的一次夏季物理学研讨班上,他竟将它作为一道家庭作业布置下去。

图 6.2 如果我们来到第 N 维,那么度规张量将是一连串 N 个数、这些数能排列成一个 Nx N 的方块。把第五列和第五行和随后的各列各行切掉,我们就可以抽去麦克斯韦电磁场和杨-米尔斯场。这样,超空间理论便允许我们一下子把爱因斯坦场(描述引力)、麦克斯韦场(描述电磁力)以及杨 米尔斯场(描述弱力和强力)统一起来,这些基本力就像拼图板一样拼在一起。

把杨-米尔斯场从卡鲁查-克莱因理论中提取出来还只是第一步。虽然物质的对称性现在可以看作源于看不见的维中的隐藏的对称性,下一步却是完全由几何来创造(由夸克和轻子构成的)物质本身。

超引力

把物质转变成几何,仍然面临着一些棘手的问题。因为,根据标准模型,所有的粒子都在“自旋”。例如,我们现在知道物质由夸克和轻子构成。夸克和轻了都具有 1/2 个量子自旋单位(以普朗克常量 h 为测量单位)。具有半整数自旋(1/2,3/2,5/2 等)的粒子被称为费米子。然而,力由具有整数自旋的量子来描述。例光子具有 1 个自旋单位。杨-米尔斯场亦是如此。假想的引力子,则具有 2 个自旋单位。它们称为玻色子。

传统上,量子理论使费米子和玻色子严格分开。把物质转变为几何的任何努力,都将不可避免地面对这一事实∶玻色子和费米子是性质不同的两个世界。例如,SU(N)可以把夸克打乱后重组,但费米子和玻色子却决不允许彼此相混。因此,当人们发现被称为超对称的新的对称性时,使人震惊的是它确实把玻色子和费米子混起来了。超对称的方程允许一个玻色子和一个费米子相交换而仍然保持方程的原貌。换句话说,一个超对称的多重态包含有相等数目的玻色子和费米子。在同一多重态内打乱并重组玻色子和费米子,超对称方程仍保持原样。

这给了我们一种把宇宙中所有粒子放进一个多重态的可能性。像诺贝尔奖得主萨拉姆所强调的那样,

超对称是所有粒子完全统一的最终方案。

超对称以一种新型的数字系统为基础,显然正确的大多数乘除运算对超对称是无效的。例如,如果 a 和 b 是两个“超数”,那么 a×b=-b×a。

当然,这对普通的数而言是绝对不可能的。因为,如果 a×a=-a×a,那么 a×a=0。如果这些数是普通的数,那么这将意味着 a=0,数的系统就此崩溃了。

然而,由于是超数,因此数的系统并不会崩溃,有一种相当惊人的说法,那就是甚至 a≠0,也可以有 axa=0。虽然这些超数违背了我们学到的有关数的几乎一切知识,但是可以证明,它们产生了某种自洽而非常不平凡的系统。显然,可以以它们为基础建立一种全新的超级算法系统。

3 位物理学家,弗里德曼、费拉拉和范尼乌文赫伊于 1976 年建立了超引力理论。超引力理论是构造一个完全由“大理石”组成的世界的首次实际尝试。在超对称理论中,所有的粒子都有超配偶子,它们被称为超粒子。弗里德曼的超引力理论只包含两种场∶自旋为 2 的引力子场(它是一个玻色子)及其自旋为 3/2 的配偶子,后者被称为引力微子。因为这些粒子还不足以把标准模型包括进来,人们又尝试把这一理论与更复杂的粒子匹配起来。

将物质包含在内的最简单的办法,是在 11 维空间中建立超引力理论。为了在 11 维中建立超卡鲁查-克莱因理论,人们必须大大增加黎曼张量中的分量,现在它就变成了超黎曼张量。为了理解超引力如何把木头转变成大理石,让我们写出度规张量,并说明超引力如何设法把爱因斯坦场、杨-米尔斯场以及物质场都装进一个超引力场。这个图的基本特点是,物质以及杨-米尔斯方程和爱因斯坦方程现在包容在同一个 11 维的超引力场中。

  • 超引力几乎圆了爱因斯坦的梦,这个梦就是用纯几何学导出宇宙中所有的力和粒子。为了理解这一点,注意如果我们把超对称性加进黎曼度规张量中,那么该度规的大小就翻了一番,从而给出了超黎曼度规。超黎曼张量的新分量相应于夸克和轻子。通过把超黎曼张量分解成它的分量,我们发现它几乎包含了自然界中所有的基本粒子和力∶爱因斯坦的引力理论,杨-米尔斯场和麦克斯韦场,以及夸克和轻子。但是在这个绘景中还缺失某些粒子,这一事实迫使我们走向某种更具威力的表述∶超弦理论。

超对称性是在超引力场中把物质转变成几何且反之亦然的对称性。于是,它们乃是同一种力的各种表现,这种力叫做超力。物质不再作为一种单一的孤立实体存在。它现在与几何合并而形成了超几何。

  • 在超引力中,我们几乎取得了所有已知的力(大理石)和物质(木头)的某种统一。就像拼图板那样,它们在黎曼度规张量之内拼合。这几乎圆了爱因斯坦的梦。

1980 年 4 月 29 日,宇宙学家霍金接受了卢卡逊教授职位(牛顿和狄拉克也曾担任过),他做了一个讲演,冠以质疑性的题目∶“理论物理学的尽头离我们不远了吗?”

我们在近几年取得了大量的进展,并且像我将要描述的那样,有某些理由可使我们抱谨慎的乐观态度,这种乐观就是,现在在座的一些人,有可能在他们的有生之年看到某种完备的理论。

由黎曼在 19 世纪引进的简单度规张量只有 10 个分量。黎曼度规张量现在已被超引力的超度规张量所取代,后者有好几百个分量,这极大地增加了方程的数学复杂性。超引力和超度规张量的出现,物理学的数学门槛大大的增高了。

超引力的衰落

然而,在尽力搜索之后,在任何实验中都没有看到超粒子。例如,自旋为 1/2 的电子并没有任何自旋为 0 的配偶子。然而,物理学家们坚信,在宇宙创生的巨大能量中,所有的粒子都有它们的超配偶子相陪伴。只有在这个不可思议的能量中,我们才能看到一个完全超对称的世界。

但是,在好几十次国际讨论会之后,情况变得明朗了。这种理论不能被正确地量子化,从而暂时打消了纯粹由大理石构成某种理论的梦想。就像每一次企图完全用大理石构造某种物质理论的尝试一样,超引力的失败有一个很简单的理由∶不管什么时候我们试图从这些理论计算些数,总会得到一些无意义的无穷大。

然而,恰好在人们对超引力的兴趣开始衰退之时,另一种新的理论出现了,它可能是人们曾经提出过的最奇特而又最有力的物理学理论∶十维超弦理论。

本文来自微信公众号:老胡说科学 (ID:LaohuSci),作者:我才是老胡

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关键词:物理量子引力

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