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数学证明了黑洞注定存在的条件

万象经验 2023/8/26 14:32:04 责编:梦泽

黑洞是一种奇特的天体,它们的引力如此强大,以至于连光都无法逃逸。它们的中心是一个奇点,那里的密度无限大,物理定律失效。黑洞是爱因斯坦广义相对论的预言之一,它们在宇宙中扮演着重要的角色。

但是,我们如何知道一个黑洞是否存在呢?我们不能直接观测它们,因为它们不发出任何光。我们只能通过它们对周围物质和光的影响来推断它们的存在。例如,我们可以看到黑洞周围的吸积盘发出强烈的辐射,或者看到黑洞对背景星光产生的引力透镜效应。

但是,这些方法都需要我们已经有了一个黑洞的候选者。如果我们想从理论上判断一个黑洞是否存在,我们需要一些更基本的条件。换句话说,我们需要知道什么样的物质分布会导致一个黑洞的形成。

这个问题已经困扰了数学家和物理学家半个多世纪了。最早的尝试是由彭罗斯在 1964 年提出的奇点定理。他证明了如果时空中存在一个闭合陷入面,那么时空中必然存在一个奇点。闭合陷入面是一种曲率如此极端的表面,以至于向外发出的光也会被弯曲并转向内部。这意味着这个表面内部的任何东西都无法逃逸,因此形成了一个黑洞。

但是,彭罗斯的定理并没有告诉我们如何产生一个闭合陷入面。在 1972 年,索恩提出了一个猜想,称为“环状猜想”。他认为如果足够多的质量被压缩到一个特定大小的环中,那么就一定会形成一个黑洞。换句话说,如果你有一个质量为 M 的物体,并且你可以把它放进一个半径为 R=M / 2πc² 的环中,那么这个物体就会塌缩成一个黑洞。

这个猜想很有启发性,但是它也有一些问题。首先,它只适用于完美球对称的情况,也就是说物体必须是一个均匀分布的球形。但是,在现实中,物体可能有各种不规则的形状和密度分布。其次,它只适用于三维空间中的黑洞,也就是说空间只有三个方向:上下、左右、前后。但是,在数学和物理中,我们有时候会考虑更高维度的空间,比如四维、五维或者更多维度。在这些空间中,黑洞是否也存在呢?如果存在,它们又有什么样的性质呢?

为了回答这些问题,我们需要一些更普遍和更精确的条件来判断黑洞是否存在。这就是最近一篇文章的主要贡献。这篇文章的作者用数学的方法证明了一个令人惊讶的结论:如果你有一个质量为 M 的物体,并且你可以把它放进一个边长为 R=2M / 3c² 的立方体中,那么这个物体就会塌缩成一个黑洞。这个条件不仅适用于三维空间中的黑洞,而且适用于任意维度的空间中的黑洞。换句话说,无论你在多少维度的空间中,只要你有一个足够小的立方体,你就可以用它来制造一个黑洞。

这个结论有什么意义呢?首先,它给了我们一个更简单和更通用的判断黑洞存在的条件。我们不需要考虑物体的形状或者密度分布,只需要考虑它能否放进一个立方体中。

其次,它给了我们一个证明高维度空间中黑洞存在的方法。我们知道在三维空间中,黑洞是存在的,并且有很多观测证据支持它们。但是,在高维度空间中,黑洞是否存在呢?这是一个很有趣的理论问题,因为一些物理学家认为高维度空间可能是描述我们宇宙的一种方式。这篇文章告诉我们,如果高维度空间是真实的,那么在那里也可以存在黑洞。

这篇文章是如何证明这些结论的呢?它使用了一些复杂和精妙的数学工具,比如微分几何、拓扑学和偏微分方程。我不会在这里详细介绍它们,因为它们需要很多先验知识和技巧。但是,我可以给你一些直观的想法,它使用了两个主要的步骤。

第一步是证明如果你有一个质量为 M 的物体,并且你可以把它放进一个边长为 R=2M / 3c² 的立方体中,那么这个物体就会形成一个闭合陷入面。这一步使用了一种叫做“反向光锥”的技巧。反向光锥是一种描述时空中光线如何传播的方法。你可以想象一个点光源发出一束光线,这束光线会沿着各个方向扩散开来,形成一个锥形。如果你把时间倒过来,那么这束光线就会从各个方向收缩回来,重新汇聚到点光源。这就是反向光锥。

反向光锥有一个特点,就是它的顶点总是在时空中最先出现,而它的底面总是在时空中最后出现。换句话说,反向光锥总是从未来到过去传播。这一点很重要,因为它意味着如果你在时空中找到一个反向光锥,并且它完全包围了一个物体,那么这个物体就无法逃逸到外部。因为无论物体如何运动,它都只能沿着反向光锥内部移动,而反向光锥内部总是比外部更早出现。这就像你被困在一个永远无法到达未来的地方。

作者使用了反向光锥来证明闭合陷入面的存在。他首先假设了一个最简单的情况,也就是物体是静止不动的,并且密度均匀分布的。他然后构造了一个特殊的反向光锥,它的顶点恰好在立方体中心,并且它的底面恰好与立方体表面相切。他证明了这个反向光锥满足爱因斯坦场方程,并且完全包围了物体。因此,他得出了结论:物体形成了一个闭合陷入面。

他接下来考虑了更一般的情况,也就是物体可能有各种不规则的形状和密度分布,并且可能在运动中。他证明了只要物体可以放进一个边长为 R=2M / 3c² 的立方体中,那么他就可以用一个类似的反向光锥来包围它,并且得到同样的结论:物体形成了一个闭合陷入面。这就完成了第一步的证明。

第二步是证明如果一个物体形成了一个闭合陷入面,那么它就会塌缩成一个黑洞。这一步使用了彭罗斯的奇点定理,它说如果时空中存在一个闭合陷入面,那么时空中必然存在一个奇点。奇点是黑洞的核心,它被黑洞的边界所包围。因此,如果一个物体形成了一个闭合陷入面,那么它就会被事件视界所包围,并且塌缩成一个黑洞。这就完成了第二步的证明。

综上所述,作者证明了立方体定理:如果你有一个质量为 M 的物体,并且你可以把它放进一个边长为 R=2M / 3c² 的立方体中,那么这个物体就会塌缩成一个黑洞。这个定理不仅适用于三维空间中的黑洞,而且适用于任意维度的空间中的黑洞。

本文来自微信公众号:万象经验 (ID:UR4351),作者:Eugene Wang

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关键词:黑洞数学

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